微观经济学拉格朗日函数怎么构造

偏好公理中蕴含的理性人假设

经济学的发展经历了漫长的历史过程，这里，我们不必严格地按照标准的经济思想史或经济史理论的讲法，追溯到古希腊的色诺芬。只需以人们公认的1776年为里程碑，亚当·斯密发表他的《国富论》为标志，经济学开始了出离哲学的第一步，而到1998年阿玛蒂亚·森为另一标志，经济学某种程度上又开始了向哲学复归的进程。这200年间经历众多学派、无数论战，其中长期困扰经济学特别是理论经济学的一个难题便是作为立论之基石的理性经济人假设。理性主义者与历史主义者的论战持续了几十年，LSE的经济系主任罗宾斯在上世纪早期出版的《经济科学的性质和意义》中实际上把经济学的研究对象界定为人的选择的科学，只要有稀缺性，必然有选择，只要有选择，也就有经济学的用武之地，罗宾斯把经济学之基础归结为稀缺，没有对理性人作较多论述，他的出发点在于防止让经验因素介入理论经济学研究之中——也正是基于此，罗宾斯、哈耶克以及广义的奥地利学派在早期数量经济学刚刚起步之时都对之持质疑和批评的态度。而承认理性人某种程度可能意味着将心理等经验因素引入，从而可能打乱他们严格的逻辑演绎体系。

但显然，理性人的设定对经济学具有充要性。以经典物理学为标竿的经济学从早期就贯穿着对确定性的、完整的体系建构抱有浓厚的兴趣。即至今日欧美三大研究生用高级微观经济学教材（Mas-Colell版、Varian版、Jehle版）中也依然保持着这种倾向，而捍卫理性人假设这一经济学理论大厦的基石仍被现代经济学视为第一要务。

我们都知道经济学从古典走向新古典直到现代经济学的过程中，一个很大的变化是价值论的变化。古典经济学以价值论为基础，成熟期古典经济学的教科书必以价值论置于论述的首位，至新古典实现了从生产到消费、客观价值到主观效用的转变，因此，我们今天的经济学教科书中，放在首位的不再是价值论部分（甚至于也略去了对价值论的探讨），而是一般以消费者理论为开端。

经济学研究的是人的行为，从现代性的观点看，无论是经济行为主体是消费者还是厂商，归根到底都是作为一个人受某种普适性规律的支配。这个规律，经济学家认为是理性人的行为假设。理性人假设，长期以来一直受到来自经济学学科内外的强烈质疑，这里不作过多探讨。只着重从《高微》一书的开篇七条公理分析一下，在一个演绎的经济学理论框架中，理性经济人假设是如何蕴含其中的。

首先是完备性。消费者面临X集中的两个选择x1与x2，要么x1≥x2，要么x2≥x1。完备性公理的潜台词是，消费者必须具备区分、判断和评价能力，能够对不同的消费计划进行比较而不至于手足无措。

其次是传递性。对属于X集的任意三元素x1、x2、x3，若x1≥x2且x2≥x3，则x1≥x3。传递性公理暗示我们：消费者的选择具有前后一致性。这一公理存在争议，因为不完全与某些人的某些消费行为相符——朝三暮四朝秦暮楚的行为也是很普遍的，故而在消费者问题一章引入的显示性偏好弱公理（WARP）只能满足于两物品情形，两个以上必然存在传递性问题。

第三是连续性。对所有的x∈ ，“至少与x一样好”集与“不优于x”集在 上是闭的。连续性公理确保了偏好不会发生突然的逆转，而无差异关系～作为≥集与≤集的交集，实际上也是闭的。

第四是局部非饱和性（也称局部非餍足性）。对所有x0∈X ，与对所有ε0，总存在一些x∈X，使得xx0。局部非饱和性公理意味着消费者对任意消费计划x0具有不满足性，无差异关系作为“至少一样好”和“不优于”两种关系的交，只能是一条线而不能是一个区域。否则根据本公理，在此假想区域内任一点为圆心、任意小长度为半径做圆，也不会交于无差异区域。

第五是严格单调性。对所有x0，x1∈X ，若x0在数量上大于或等于x1，则有偏好关系x0≥x1；若x0在数量上严格大于x1，则有偏好关系x0 x1。严格单调性公理意味着，在两物品平面上任取一点，针对该点所代表的商品组合，在该点右上方的全部点集必然严格优于该点（因两物品的数量都向东北方向绝对增加），同理，在该点右下方的全部点集必然严格劣于该点（因两物品的数量都向西南方向绝对减少）。

第六是凸性。若x1≥x0，则对所有t∈[0,1]，tx1+(1-t)x0≥x0。凸性公理表达的偏好关系式的左边实际上是x0至x1之间的某一点xt，消费者认为xt计划至少和x0一样好。这一公理确保了无差异曲线不可能凹向原点。

第七是严格凸性。若x1≠x0，且x1≥x0，则对所有t∈[0,1]，tx1+(1-t)x0 x0。严格凸性公理在凸性公理的基础上进了一步，排除了无差异曲线为线性条件的可能。这两条公理共同暗示了消费者是一个中庸平和的人，不会走极端，在两物品选择集情况下，总会进行某种程度的加权平均，而不至于在预算约束条件下，全部选择一种商品而置另外一种商品于不顾。理论上也易于证明，平衡地选择各种物品优于极端的消费结构。

这七条公理是消费者偏好公理，从上述规定性来看，他给我们展现的是一个理性的消费者，他能够对各种消费集做出比较，并给出评价（偏好关系），这一切的目的是为了实现个人效用最大化。而在上述公理之下，消费者的无差异曲线也呈现向右下方递减且凸向原点的特征，与我们在中级微观经济学中所见到的情形完全一致。

理性人特征的进一步描述

其实关于理性人假设的更突出描述在于优化问题。人总是受到各种条件的制约，不可能无法无天、无拘无束地实现自己的预期。因此，经济学在研究人的行为的同时，也的的确确是一门研究稀缺性的学问，一门研究优化配置的学问。如何在条件约束下，最大化个体的效用，这是个人本位经济学考虑的首要问题。具体地，对消费者来说，是在价格和收入（预算平衡性）约束下，实现效用的最大化问题；对厂商来说，是在生产技术（生产函数）、投入价格（成本函数）与产出价格约束下，实现利润的最大化问题。而这两个问题根据拓扑学的对偶性原理，又可以在最优点转化为相应的两个最小化问题——即支出最小化问题和成本最小化问题。

在论述为什么要坚持把利润最大化假设作为厂商理论的基础时运用了前面的消费者理论，可谓环环相扣，逻辑缜密。作者从企业内部治理结构的角度作了精彩的分析。一方面，假设经理层不作为，不谋求企业利润最大化，那么企业的盈利能力未达到饱和，这就将直接导致企业所有者消费能力达不到饱和状态，而根据前面的消费者理论，理性消费者是要谋求自身效用的最大化的，因此所有者必然要寻找一个以利润最大化为目标的新的管理人员替代现有人员。另一方面，假设企业所有者本身不作为，无意于谋求利润最大化，则市场中的其他企业所有者作为理性消费者，为了谋求自身利润最大化，必然有足够的动力希图并购此企业。资本具有扩张的天性，它谋求的是利润，因此势位必须达到均衡，否则便处于不断的流动与能量转换过程中。当然，技术性质及其相关的规模报酬类型对于利润最大化条件的存在性也有很大影响。

顺便一提，包络定理是论证最优问题的一把神兵利器。在上述优化问题列出后，建立拉格朗日方程，运用包络定理可证明罗伊（Roy）定理、谢泼德（Shepherd）引理、霍特林（Hotelling）引理甚至反需求方程组等大量定理。其中罗伊定理用于在给定间接效用函数v(p,y)情况下，对p和y分别求偏导在相比并加负号可得到马歇尔需求函数x(p,y)；谢泼德引理用于在给定支出函数e(p,u)情况下，对p求偏导可得到希克斯需求函数xh(p,u)；霍特林引理则用于在给定利润函数∏(p,w)情况下，对p求偏导可得产出供给函数y(p,w)，对w求偏导并加负号可得投入需求函数x(p,w)。

VNM模型蕴含的深刻的人本思想

这里要提一下的是序数效用问题，序数效用的目的在于保证消费者选择排序的前后一致性，也就是对一个效用函数作正单调变换后，它所代表的消费者对物品组合的评价也就是偏好关系并不发生变化。正如我们所熟知的考试成绩问题，假如出题较难，使得全体学生按照卷面成绩核算都偏低，不符合正态分布，则为保持相对的优次顺序，只需对分数做正单调变化就可得到较好修正，常见的开根号乘10的办法就是典型例子。

这种正单调变换只能保证排序信息不变，但未必能保证线性的成比例的变动，而这一点在第二章后面冯·诺依曼—摩根斯坦（VNM）模型中得到了很好的改进。实际上他倒是有点超越传统的基数论和序数论的味道，这得益于他对不确定性因素的重视（作为奥地利学派第三代的一位健将，摩根斯坦很好地继承了门格尔以降的对包括不确定性在内的非传统经济因素的研究），引入概率P之后，具有更大的可操作性和灵活性，而关于P的设定以及个人期望效用函数的给出则要来源于大量基于经济行为主体心理状态的实验测度，这也比较好地沟通了演绎与实证两种方法。

VNM模型一大贡献在于引入期望的效用U与效用的期望U。个人认为，这个区分在经济思想上具有重要的意义。何为期望的效用？就是通常意义的期望值。根据教材中所举多个例子，不难看出，期望值是一个赌局中所有得意情况的数学期望，它的单位是货币，因此，期望值直接地等同于财富值。何为效用的期望？就是根据实验数据推出经济行为主体对包含特定风险的赌局的效用函数，并不简单地运用赌局中各结果的货币而是代之以相应的效用函数值进行数学期望的计算所得出的结果。这一变化，从哲学的视角看是对自边际革命和新古典经济学发端的对人的主体性的高扬的继续。它实际上强调的是人的主观评价、主观价值、主观效用的期望值要远远重于简单的贵金属期望、货币期望，故而是对重商主义、重农学派以及经济学史上众多以客观价值为核心的学说的一种间接但却是深刻的反驳和批判。价值问题尽管在现代经济学中似乎被有意掩饰甚至忽略掉了，但仔细观察，还是处处可见的。门格尔说价值即意义，价值是行为主体赋予给客体的，财富自身没有价值，只有当它纳入到人的主观效用分析框架之内，作为效用函数U的一个变量才具有意义。第二章中有关风险投资的一些例题很好地表达了这种思想。而通过比较U与U的大小，观察曲线的U曲线的凹凸性，进而还可严密一些用阿罗—帕拉特测度办法通过对财富效用函数的一阶、二阶导数符号的观测得到经济主体对待风险的不同类型。

(这一段写得非常精彩！在读本科的时候，我一直弄不懂期望的效用与效用的期望之间的区别，后来也只是模模糊糊的弄懂了，第一次看到这样的解释，觉得真有几分道理啊！)

上面的讨论也涉及到一些货币哲学的问题，在这本教科书中也大略地提到了几句“货币的幻象”。预算平衡性px(p,y)=y和消费者需求函数x(p,y)关于关于价格和收入的零次齐次性意味着什么？无非就是说明“货币中性”这个问题，零次齐次性条件下，货币收入与所有价格水平等比例变动，价格上浮情况下预算线等比例地向右平移并不代表你的真实购买力的增强，而不过是一种相应的补偿。齐次性的作用就在于消解货币尺度，转而任意地把n种物品中的一种物品作为计价物来替代货币职能进行分析。理论经济学偏爱物物交换的框架不仅仅是由货币在历史中的出现晚于物物交换，更重要的是这有利于抓住问题的根本。门格尔、埃奇沃思等经济学家也无一不在两部门简单交换的模型中花费了大量心思，进而论证交换行为有利于创造更大的满足程度（效用）和更高的社会福利。因此，简单地以货币、财富、GDP等等绝对的数字来作为计量个人效用提高和社会进步的标准，实不可取。

技术与经济学

第三章厂商理论是以生产问题开端的。生产函数研究的是一个“技术上是否可行”的问题，潜含着技术条件。在给定成本条件下，产出最大化的生产函数，在技术上最有效率；根据对偶性，我们也可以说，给定产出条件下，成本最小化的成本函数，也在技术上最有效率。因此，f（x）和c（w，y）都潜含着技术条件。这次期末考试中一道有关Cournot和Stackelberg模型的计算题中的一问，是厂商1由于改进技术而改变了成本函数，降低了耗费，讲的也是这个意思。

经济学发展史上关于技术问题的争论一直存在，宏观经济学对技术究属内生变量还是外生变量已经纠缠了几十年，并由此催生了系列的增长理论与模型，现在看微观经济学的厂商理论中也蕴含着一定的技术经济学要素。在成本函数的推导过程中，列出给定产出水平约束下成本最小化问题的拉格朗日方程，对两种不同的投入品价格求一阶偏导后相比，可以看出其恰好等于边际产出之比，也就是投入价格比等于边际技术替代率，于是技术与价格之间的桥梁建立起来。罗宾斯在《经济科学的性质和意义》一书中花了很大篇幅讨论经济学与技术的关系，他认为经济学的盲目扩大和细致化——将触角伸向各具体领域，会丧失经济学研究的本意，演变为纯粹的自然科学，比如农业经济学转化为农业科学等等。他的这种担忧也不无道理，但未免过于悲观。根据生产中的对偶性，具有一个成本函数性质的任何函数都能够生成与此成本函数相关的生产函数。具体的应用研究这当然需要获得所研究具体产业的技术性信息，但是完全不必要具备详尽技术知识和相对复杂的工程资料，只需要对可观察的投入品的市场价格与产出水平的方式估计成本函数并从估计的成本函数中运用可积性定理“恢复”生产函数。故而，从经济学对稀缺性的情有独钟、从经济学最原始的配置资源的意义上看，尽管它不是直接研究技术的本质特征的，但不能说经济学无法反映技术条件，这种反映恰是通过数量（产量）与价格（投入品价格）这两个重要的杠杆实现的。厂商理论——生产函数、成本函数——技术条件——经济效率，大概是这么一条线索。

市场中的策略行为

在前面消费者理论和厂商理论之后，第四章着重研究由这两者共同组成的市场体系，并致力于对这个市场体系的不同性质和状态进行价值上的评估。在完全竞争情况下，消费者与厂商都是市场价格的接受者，每个人基于各自的环境与目标进行自利的市场行为，但最终会趋向于市场均衡。均衡的条件，在短期情况下，厂商数目给定但存在进出壁垒，厂商存在不可变动的投入要素，因而其均衡价格主要取决于市场出清的实现；在长期情况下，不存在固定投入，一切要素可变，厂商可以根据利润最大化的原则自由进出市场，因此通过价格这只“看不见的手”，市场自动实现了优胜劣汰，最终的均衡在表明市场出清的同时也传递了另一个信息，即通过竞争各厂商利润为零——这并不意味着企业亏损，因为利润是收益与经济成本之差，成本中是包含正常利润的。完全竞争刻画了一个完美的经济状态，在均衡点上，消费者剩余与生产者剩余之和达到了最大化（供求曲线与价格轴围成的面积达到最大），不存在不损害他人福利而使一些人福利得到提高的帕累托改进。这也表明每个企业提供的产量必然位于长期平均成本曲线（LAC）的最低点——耗费最少的资源提供最大程度满足社会需要的产出，而消费者购买商品耗费的预算也达到最低点，这确是一个多方共赢的理想局面。

然而现实总是充满多方面不确定因素来阻止理想状态的出线的，现实中只有相对、没有绝对——“一切坚固的东西都烟消云散了”。在现实中，完全竞争和纯垄断都不是主要的表现形式，这两种形态中，厂商都只需按部就班地理性计算求解自己的利润最大化问题就足够了，完全无须顾及其他方面的策略行为。但大多数的市场是垄断与竞争不同程度的结合，这是不完全竞争，其特点就是行业内每个厂商都感觉到相互间的依存性，于是就出现了对串谋的可行性论证。既然都认识到强烈的依存关系，那么尽可以组建卡特尔来实现共同利润最大化达到一个串谋性的均衡水平。事实证明合谋协议会刺激厂商实施谋求打破均衡的欺诈行为，所谓个体理性与集体理性的悖论——走入囚徒困境。对合作均衡的奢望破产，催生了非合作纳什均衡思想。

最有代表性的三个模型是古诺（Cournot）模型、伯川德（Bertrand）模型和斯塔克伯格（Stackelberg）模型。概言之，古诺模型的核心逻辑是价格由市场总产量决定，众寡头厂商根据自己的成本函数与价格等条件列出自己的利润最大化，求解其一阶条件方程，联立后求解各自均衡产量，由经典古诺模型的均衡解推出的价格偏离公式表明，价格随厂商数目的增加而趋近于边际成本，这很好地描绘了不完全竞争向完全竞争进化的过程图谱。伯川德模型恰反其道而行之，其核心逻辑是数量由市场价格决定，各积极厂商不再以数量作为竞争手段，而是运用定价策略进行较量，众寡头宣布各自宣布他们索要的价格——这意味着价格差异不能过大，否则定价过高的一方必然失去全部消费者，因此具有价格优势的一方只需将价格定位在小于等于对手的边际成本上便可轻松占有全部市场份额，而这种策略是交替进行诬陷重复下去的，直至最终将所有厂商的定价逼近到各自的边际成本的水平上。伯川德模型的思想与门格尔论述的思路极为接近，后者早前者近十年在《国民经济学原理》（1871）用特有的图表描述了一个供给者对众多消费者、几个供给者对众多消费者的情况下，市场价格是如何形成的，尽管没有使用严格的微积分方法，但那种离散的、非连续的、不可微的模型表达的却是同样的边际思想。而正是由于这里的出色表达，门格尔赢得了和杰文斯、瓦尔拉斯一样的殊誉，成为边际革命三大开启者之一。至于斯塔克伯格模型则类似于古诺模型，也是基于数量竞争的考量，不同之处在于他进行了领导者与追随者的二元划分——这种划分确实是与经济现实中厂商的行为相符的。斯塔克伯格双寡头模型要求两厂商彼此知悉对方的成本和市场需求信息，追随者将领导者的产量视为给定，并依此确定自己的产量。领导者则将追随者的反应视为给定，并依此确定自己的产量。特别的，不同于古诺模型，斯塔克伯格模型要求先从追随者的利润最大化问题入手，通过其一阶条件导出其产量对领导者产量的反应函数，而追随者的“任务”到此也就结束了；接下来是领导者将追随者的反应函数代入自己的利润最大化问题的一阶条件，求解出自己的产量。

参考书目

[1][美]杰里,瑞尼.高级微观经济理论（第二版）[M].上海:上海财经大学出版社,2002.

[2][奥]卡尔·门格尔.国民经济学原理[M].上海:上海世纪出版集团,2005.

[3][英]莱昂内尔·罗宾斯.经济科学的性质和意义[M].北京:商务印书馆,2000.